BILANGAN BULAT

Bilangan bulat biasa dilambangkan dengan huruf B, dengan anggota sebagai berikut: B = { … , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … }. Dalam garis bilangan dapat ditulis sebagai berikut:
`
      …    9  8 76 5 4 3 2 1   0   1    2   3    4   5   6    7   8    9    …

1.	Sifat Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat
•	Sifat komutatif
Untuk a, b  B, maka 
a + b = b + a

•	Sifat asosiatif
Untuk a, b, c  B, maka
(a + b) + c = a + ( b + c)

•	Unsur Identitas (netral)
Untuk a  C, maka :
a +0 = 0 + a = a, maka 0 disebut unsur identitas (netral)

	Contoh 1:
•	(3) + 12 = 9
•	12 + (3) = 9
Jadi, (3) + 12 = 12 + (3) (bersifat komutatif)

Contoh 2:
•	(3 + 2) + (7) = 5 + (7) = 2
•	3 + (2 + (7)) = 3 + (5) = 2
Jadi, (3 + 2) + (7) = 3 + (2 + (7)) (bersifat asosiatif)

Contoh 3:
•	(4) + 0 = 0 + (4) = 4
•	3 + 0 = 0 + 3 = 4
•	11 + 0 = 0 + 11 = 11
0 unsur identitas (netral), karena jika dijumlahkan terhadap suatu bilangan hasilnya bilangan itu juga
	
•	Invers jumlah
a + (a) = (a) + a = 0
Jadi, invers dari a adalah a atau invers dari a adalah a
•	Bersifat tertutup
Dua buah bilangan bulat dijumlahkan maka hasilnya bilangan bulat juga	Contoh 4:
•	invers atau lawan dari 6 adalah 6
•	invers atau lawan dari 7 adalah 7
Contoh 5:
•	3 + (6) = 3 (bil. bulat)
•	(3) + (9) =  6 (bil. bulat)

2.	Sifat Operasi Pengurangan Bilangan Bulat
•	Pengurangan a – b = c, berarti a = b+c
Pengurangan berarti kebalikan penjumlahan

•	Pengurangan tidak bersifat komutatif
a – b   b – a, a  C

•	Pengurangan tidak bersifat asosiatif
Untuk a, b, c  C, maka
(a - b) - c  a - ( b - c)	Contoh 6:
•	6 – 2 = x  6 = x + 2  x = 4. Jadi, 6 – 2 = 4 .
•	9 – 3 = y  9 = y + 3  y = 6. Jadi, 9 – 3 = 6 .

Contoh 7:
•	9 – 3 = 6
•	3 – 9 =  6 (bil. bulat)
Jadi, 9 – 3  3 – 9  (pengurangan tidak bersifat komutatif)

Contoh 8:
•	(9 – 4 ) – 1 = 5 – 1 = 4
•	9 – (4 – 1) = 9 – 3 = 6
Jadi, (9 – 4) – 1  9 – (4 – 1) 	
	
3.	Sifat Operasi Perkalian Bilangan Bulat

•	Sifat komutatif
Untuk a, b  C, maka 
a  b = b  a

•	Sifat asosiatif
Untuk a, b, c  C, maka
(a  b)  c = a  ( b c)

•	Unsur Identitas (netral)
Untuk a  C, maka :
a  1 = 1  a = a, maka 1 disebut unsur identitas (netral)

•	Bilangan nol
Untuk a  C, maka :
a  0 = 0  a = 0

•	Bersifat tertutup
Dua buah bilangan bulat dikalikan maka hasilnya bilangan bulat juga 
	Contoh 9:
•	3  (12) = 36
•	(12)  3 = 36
Jadi, 3  (12) = (12)  3 (bersifat komutatif)

Contoh 10:
•	(3  2)  7 = 6  7 = 42
•	3  (2  7) = 3  14 = 42
Jadi, (3  2)  7 = 3  (2  7) (bersifat asosiatif)

Contoh 11:
•	(4)  1 = 1  (4) = 4
•	3  1 = 1  3 = 3
1 unsur identitas (netral), karena jika dikalikan terhadap suatu bilangan hasilnya bilangan itu.

Contoh 12:
•	4  0 = 0  4 = 0
•	5  0 = 0  5 = 0
 
Contoh 13:
•	3  2 = 6 (bil. bulat)
•	4  (3) = 12 (bil. bulat)
•	(2)  1 = 2 (bil. bulat)
•	(1)  (2) = 2 (bil. bulat)	

4.	Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

•	a  (b + c) = a  b + a  c atau  
a  b + a  c= a  (b + c)

•	a  (b  c) = a  b  a  c atau 
a  b  a  c= a  (b  c)	Contoh 14:
•	3  (4 + 5) = 3  9 = 27
•	3  4 + 3  5 = 12 + 15 = 27
Jadi, 3  (4 + 5) = 3  4 + 3  5.

Contoh 15:
•	3  (9  5) = 3  4 = 12
•	3  9  3  5 = 27 + 15 = 12
Jadi, 3  (9  5) = 3  9  3  5 .	

5.	Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat

•	Pembagian a : b = c, berarti a= bc
Pembagian berarti kebalikan perkalian
•	Pembagian tidak bersifat komutatif
a : b  b : a,  a  C

•	Pembagian tidak bersifat asosiatif
Untuk a, b, c  C, maka
(a : b) : c  a : ( b : c)
	Contoh 16:
6 : 2 = a   6 = a  2  a = 3. Jadi, 6 : 2 = 3 

Contoh 17:
•	8 : 4 = 2
•	4 : 8 = ½  (bil. pecahan)
Jadi, 8 : 4  4 : 8 (tidak komutatif)
Contoh 18:
•	(8 : 2) : 4 = 4 : 4 = 1
•	8 : (2 : 4) = 8 : ½  = 16
Jadi, (8 : 2) : 4  8 : (2 : 4). 	
6.	Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

1.	a + b
bilangan positif ditambah bilangan positif hasilnya bilangan positif

2.	a + (b)
bilangan positif ditambah bilangan negatif hasilnya bisa bilangan positif atau bilangan negatif

3.	(a) + (b)
Bilangan negatif ditambah dengan bilangan negatif hasilnya bilangan negatif	Contoh 19:
•	8 + 12 = 20
•	12 + 3 = 15

Contoh 20:
•	5 + (7) = 2 (lebih besar negatifnya, hasilnya negatif )
•	9 + (7) = 2 (lebih besar positifnya, hasilnya positif)

Contoh 21:
•	(4) + (6) = 10
•	3 + (17) = 20	

7.	Operasi Pengurangan Bilangan Bulat

1.	a – b = a + (b)
Mengurangi suatu bilangan bulat sama dengan menjumlahkan lawannya 

2.	 (a) = + a = a
Lawan dari a adalah a .	Contoh 22 :
•	8  12 = 8 + (12) = 4
(lebih besar negatifnya, hasilnya negatif)
•	12  (3) = 12 + 3 = 15
•	12  (6) = 12 + 6 = 6

Contoh 23:
•	 (3) = 3.
•	 (6) = 6.	
8.	Operasi Perkalian Bilangan Bulat

1.	bilangan positif dikalikan bilangan positif hasilnya bilangan positif
(+)  (+) = +

2.	bilangan negatif dikalikan bilangan negatif hasilnya bilangan positif
()  () = + 

3.	bilangan positif dikalikan bilangan negatif atau bilangan negatif dikalikan bilangan positif hasilnya bilangan negatif
(+)  () = 
()  (+) = 	Contoh 24:	
•	8  12 = 96
•	12  3 = 15

Contoh 25:
•	(5)  (7) = 35
•	(9)  (7) = 63

Contoh 26:
•	4  (6) = 24
•	3  17 = 51
•	10  5 = 50 
•	12  6 = 72 	

9.	Operasi Pembagian Bilangan Bulat

1.	bilangan positif dibagi bilangan positif hasilnya bilangan positif  (+) : (+) = +

2.	bilangan negatif dibagi bilangan negatif hasilnya bilangan positif
() : () = + 
	Contoh 27:
•	12 : 4 = 3
•	25 : 5 = 5

Contoh 28:
•	(24) : (6) = 4
•	(49) : (7) = 7
 	
3.	bilangan positif dibagi bilangan negatif atau bilangan negatif dibagi bilangan positif hasilnya bilangan negatif
(+) : () = 
() : (+) = 	Contoh 29:
•	24 : (6) = 4
•	33 : 3 = 11
•	10 : 5 = 2 
•	12 : 6 = 2 	
10.	Kelipatan dan Faktor
•	Kelipatan bilangan bulat
Kelipatan k, k > 0 dari bilangan bulat adalah hasil kali k dengan tiap anggota bilangan bulat positif

•	KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
KPK dari a dan b adalah bilangan terkecil kelipatan a sekaligus kelipatan b. 

•	Faktor
Jika suatu bilangan dinyatakan dalam perkalian dua bilangan. Kedua bilangan itu disebut faktor. 
a = b  c, maka b dan c disebut faktor	Contoh 30:
•	Kelipatan 2, yaitu 2, 4, 6, 8, 10, …
•	Kelipatan 3, yaitu 3, 6, 9, 12, ….
•	Kelipatan 7, yaitu 7, 14, 21, ….

Contoh 31:
•	Kelipatan 6 , yaitu 6, 12,   18, 24, 32, …
•	Kelipatan 9 , yaitu 9, 18, 27, 36, 45, …
KPK dari 6 dan 9 adalah 18

Contoh 32:
•	6 = 1  6 = 2  3 
Jadi, faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6.
•	12 = 1  12 = 2  6 = 4  3 
Jadi, faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.	

•	Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
FPB dari a dan b adalah faktor dari a sekaligus faktor dari b yang paling besar	Contoh 33:
•	Faktor dari  24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
•	Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18
Jadi, FPB dari 24 dan 18 adalah 6.	

11.	Menentukan KPK dan FPB dengan Memfaktorkan

KPK
KPK adalah perkalian faktor-faktor prima (persekutuan) pangkat terbesar

Contoh 34:             
•	8 	= 23	= 23  50
•	20 	= 22  5	= 22  51
   
KPK 8 dan 20 	= 23  51= 40

Contoh 35:     
•	45 		= 32  5	
= 32  51  70
•	525		= 3  52  7 
		= 31  52  71

KPK 45 dan 525 
= 32  52  71 = 1575

	FPB
FPB adalah perkalian faktor-faktor prima(persekutuan) pangkat terkecil

Contoh 36:     
•	8 		= 23	= 23  50
•	20	= 22  5	= 22  51

FPB 8 dan 20 	= 22  50
		= 4   1
		= 4
Contoh 37:     
•	45 	= 32  5			= 32  51  70
•	525	= 3  52  7 		= 31  52  71

FPB 45 dan 525 	
= 31  51  70 = 3    5   1
= 15

Contoh 38:     
Tentukan KPK dari p3 q5 r dan  p4 q7 s4 !
Jawab:
p3 q5 r	= p3 q5 r1 s0
p4 q7 s4	= p4 q7 r0 s4

KPK nya 	= p4 q7 r1 s4
	= p4 q7 r s4
	Contoh 39:     
Tentukan FPB dari p3 q5 r dan  p4 q7 s4 !
Jawab:
p3 q5 r	= p3 q5 r1 s0
p4 q7 s4	= p4 q7 r0 s4

KPK nya 	= p3 q5 r0 s0
	= p3 q5 1 1
	= p3 q5 

12.	Mensubstitusikan bilangan ke dalam variabel
 Dalam hal ini, adalah mengganti variabel yang diketahui dengan bilangan tertentu.

Contoh 40:
Diketahui a = 3, b = 5 dan c = 4, tentukan nilai dari :
•	a  + b + c 
•	3a  + b2  c 
Penyelesaian:
•	a  + b + c, berarti a diganti –3, b diganti 5 dan c diganti –4, 
a + b + c = (3) + 5 + (4) = 2
•	3a  + b2  c, berarti a diganti –3, b diganti 5 dan c diganti –4,
3a  + b2  c = 3.(3) + 52  (4) = 9 + 25 + 4 = 20

Contoh 41:
Diketahui a = 6, b = 2 dan c = 4, tentukan nilai dari :
•	(3a  + b)2 + c 
•	4ab  + 5bc  6ac
Penyelesaian:
•	(3a  + b)2 + c, berarti a diganti –6, b diganti 2 dan c diganti –4 
(3a  + b)2 + c	= [3 . (6) + 2]2 + (4)
		= [ 18 + 2]2 + (4)
		= [16]2 + (4)
		= 256 + (4)
		= 252
•	4ab  + 5bc  6ac, berarti a diganti –6, b diganti 2 dan c diganti –4 
4ab  + 5bc  6ac	= 4. (6).2 + 5. 2. (4)  6.(6).(4)
			=     48        +   (40)         144 	       		=     88 + (144) = 232

13.	Menyelesaikan Soal Cerita tentang Bilangan Bulat
Contoh 42:
Suhu di suatu ruangan mula-mula 5oC. 2 jam kemudian suhunya turun 10oC. Tentukan suhu sekarang.
Penyelesaian:
Suhu sekarang = 5oC – 10oC = – 5oC.

Contoh 43:
Dalam suatu lomba Matematika yang terdiri dari 40 soal, terdapat aturan, jika menjawab benar mendapat skor 4, jika menjawab salah mendapat skor – 1, dan jika tidak mendapat skor 0. Seorang anak menjawab benar  20 soal, menjawab salah 15 soal, yang lainnya tidak menjawab. Tentukan skor yang diperoleh oleh anak tersebut.
Penyelesaian:
Skor benar		= 20  4		= 80
Skor salah		= 15   –1 	= –15
Skor tidak menjawab	= 5  0		= 0       +
Skor yang diperoleh siswa			= 65.

Uji Kemampuan Soal-Soal Bilangan Bulat
1.	Hasil dari 3  (4) : (2) + 4 – (5) = ... .
a. 15	b. 15	c. 10	d. 5
2.	Jika a = 2, b = 6 dan c = 8, maka nilai dari a – b + c = ... .
a. 12	b. 12	c. 13	d. 16
3.	Jika a = 3, b = 4, dan c = 5, maka nilai dari 3a + 6b – 4c = ... .
a. 5	b. 5	c. 10	d. 15
b. 5	d. 15
4.	Jika a = 2 dan b = 1, maka nilai dari 2a2  4b3 + 9 = ... .
a. 21	b. 19	c. 21	d. 26
5.	Jika 2  (3) + n – 8 =  3, maka nilai n = ... .
a. 11	b. 10	c. 11	d. 15
6.	Hasil dari = ... .
a. 25	b. 7	c. 25	d. 26
7.	KPK dari 6, 8 dan 12 adalah ... .
a. 24	b. 36	c. 48	d. 98
8.	FPB dari 16a4b2c dan 18a5bc7 adalah ... .
a. 2a4bc7	b. 2a4b2c 	c. 4a4bc	d. 2a4bc
9.	KPK dari 24p4q2r5 dan 18p6q7r adalah ... .
a. 72 p6q7r5	b. 36 p6q7r5	c. 72 p6q2r5	d. 24 p6q7r
10.	Jika x  y = x2  2xy + y2, maka nilai dari 4  (5) = ... .
a. 81	b. 1	c. 81	d. 100
11.	Hasil kali dua bilangan bulat adalah 48, sedangkan jumlah kedua bilangan itu adalah 8. Salah satu bilangan itu adalah ... .
a. 12	b. 8	c. 4	d. 2
12.	Aku adalah suatu bilangan. Jika aku ditambah – 2, kemudian hasilnya dikalikan 5, selanjutnya dikurangi – 4, dan hasilnya dibagi 2, maka aku menjadi 23. Jadi aku adalah ... .
a.  6	b.  8	c.  10	d.  12
13.	Banyaknya nilai m bilangan bulat yang memenuhi, jika merupakan bilangan bulat adalah ... .
a. 12	b. 8	c. 6	d. 4
14.	Jumlah 5 bilangan berurutan adalah – 115. Bilangan terkecilnya adalah ... .
a. 25	b. 21	c. 19	6. 18
15.	Suhu udara di ruangan pendingin untuk menyimpan daging adalah – 50C. Pada suatu saat listrik padam, ternyata suhunya naik 10C setiap menitnya. Setelah listrik itu padam selama 12 menit, maka suhu di ruangan pendingin itu menjadi … .
a. 7oC	b. 12oC 	c. 17oC	d. 20oC
16.	Suhu mula-mula pada kulkas adalah 5ºC. Setelah listrik padam suhunya menjadi 15ºC. Kenaikan suhu pada kulkas tersebut adalah ….
a. 200C	b. 250C 	c. 300C	d. 350C
17.	Pada suatu kompetisi Matematika, dibuat aturan penskoran yaitu setiap soal yang dijawab dengan benar akan mendapat skor 4, soal yang dijawab salah mendapat skor 1 dan soall yang tidak dijawab mendapat skor 0. Dari 40 soal yang diberikan panitia, seorang siswa dapat menjawab 25 soal dengan benar, 3 soal tidak dijawab dan sisanya salah. Skor yang didapat oleh siswa tersebut adalah….
a. 80	b. 82	c. 84	d. 88
18.	Dalam sebuah liga sepak bola, terdapat aturan penskoran yaitu jika menang mendapat poin 3, jika suatu regu bermain seri dengan regu lain mendapat poin 1, jika kalah mendapat poin 0. Suatu regu sudah memainkan pertandingan sebanyak 40 kali, menang 28 kali. Jika skor yang diperoleh adalah 75, maka perbandingan banyaknya permainan seri dan kalah adalah ... . 
a. 3 : 1	b. 2 : 1	c. 3 : 2	d. 4 : 1 
19.	Suhu air di permukaan laut adalah 120C. Setiap kedalamannya turun 100 m, maka suhunya turun 20C. Suhu pada kedalaman 1500 m adalah … .
a. 120C	b. 140C 	c. 160C	d. 180C
20.	Suhu mula-mula ruangan pendingin – 50C. Karena listrik padam, maka suhu sekarang menjadi 150C. Kenaikan suhu ruangan pendingin itu adalah … .
a. 290C	b. 250C 	c. 200C	d. 150C